Coeficientes e Raízes
Definição de Raízes ou Soluções da Equação do Segundo Grau
As raízes ou soluções de uma equação do segundo grau são os valores de x que satisfazem a equação, ou seja, os valores que, ao serem substituídos na expressão ax2+bx+c=0, tornam a equação verdadeira.
Em outras palavras, as raízes são os pontos onde o gráfico da função quadrática intercepta o eixo x. Esses pontos são também conhecidos como zeros da função, pois representam os valores de x para os quais f(x) = 0.
Encontrando as Raízes: Métodos de Resolução
Fórmula de Bhaskara: Figura 1
Para encontrar as raízes de uma equação do segundo grau, podemos usar a fórmula de Bhaskara.
Fórmula de Bhaskara: Figura 2
Na figura, as soluções de x (também chamadas de raízes ou zeros da função) são representadas pelos pontos x1 e x2. Esses pontos são conhecidos como os interceptos no eixo xx, pois indicam onde a parábola intercepta o eixo xx, ou seja, os valores de xx para os quais f(x)=0.
No gráfico, o eixo de simetria (linha pontilhada) passa exatamente no meio dos pontos x1 e x2, demonstrando a simetria da parábola em relação ao vértice.
Esses interceptos são importantes porque representam as soluções da equação quadrática e indicam os pontos onde a função atinge o valor zero.
Fórmula de Bhaskara: Exemplo 1
Fórmula de Bhaskara: Exemplo 2
Fatoração: como resolver por fatoração quando possível.
Para resolver uma equação do segundo grau por fatoração usando a abordagem da soma e produto, consideramos a forma padrão da equação:
Soma e Produto das raízes.
Passos para Resolver por Fatoração (Usando Soma e Produto)
Escreva a equação na forma padrão ax2+bx+c=0
Identifique a, b, e c.
A partir desses coeficientes, determine os valores de:
- Soma: −b/a
- Produto: c/a
Encontre dois números que atendam à soma e ao produto indicados.
Reescreva o termo do meio usando esses dois números, dividindo o termo linear em duas partes.
Fatore por agrupamento para escrever a expressão como o produto de dois binômios.
Resolva cada fator igualando-o a zero para encontrar as raízes da equação.
Fatoração: Exemplo 1 (vídeo)
Fatoração: Exemplo 2 (vídeo)
Tipos de Raízes
O valor do discriminante (Δ) nos permite classificar as raízes da seguinte maneira:
Duas raízes reais e distintas: Se Δ>0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.
Uma raiz real dupla: Se Δ=0, a equação possui uma única raiz real (também chamada de raiz dupla). A parábola toca o eixo x em apenas um ponto (o vértice), indicando que a solução é única e repetida.
Duas raízes complexas: Se Δ<0, a equação não possui raízes reais, mas sim duas raízes complexas conjugadas. Nesse caso, a parábola não intercepta o eixo x.
Ponto de vértice e como encontrá-lo.
Ponto de vértice: Exemplo 1
O vértice de uma parábola representada por uma equação do segundo grau f(x)=ax2+bx+c é o ponto máximo ou mínimo da função, dependendo da concavidade da parábola (determinada pelo sinal de “a”:
- Se a < 0, a parábola é voltada para baixo e o vértice é um ponto máximo.
- Se a > 0, a parábola é voltada para cima e o vértice é um ponto mínimo.